Jad Abou Yassin (IDP, Tours)

Titre : Partitions non-croisées et généralisation des éléments c-triables en type Ã

Résumé : Les partitions non-croisées font partie des objets classiques de la combinatoire de Coxeter-Catalan. Au milieu des années 2000, Reading introduit les éléments c-triables d'un groupe de Coxeter fini afin d'établir des bijections explicites entre différents objets de la combinatoire de Coxeter-Catalan, dont les partitions non-croisées. En type A, ces objets et cette bijection ont des interprétations combinatoires intéressantes. Lorsque le groupe de Coxeter est infini, l'application de Reading depuis les éléments c-triables vers les partitions non-croisées est toujours bien définie, mais perd la propriété de surjectivité. Dans cet exposé, je présenterai une généralisation des éléments c-triables en type affine Ã, en utilisant divers objets combinatoires : partitions non-croisées d'un anneau, ordres totaux sur Z invariants par translation et diagrammes d'arcs non-croisés cycliques. 

 

 

Antoine Abram (UL, Liège)

Titre : Dimension des ordres unicycliques

Résumé : Défini par Dushnik et Miller, la dimension d'un ordre P est le nombre minimal d'extensions linéaires nécessaires pour que leur intersection soit P. Ceci permet de définir une notion de complexité des ordres.D'un autre côté, il est connu que, pour les ordres aléatoires uniformes, quand il y a une faible probabilité que les arrêtes apparaissent dans le graphe des couvertures, presque sûrement ce dernier sera une collection d'arbres et de graphes ne possédant qu'un unique cycle. Motivé par l'étude des dimensions des ordres aléatoires, Bollobás et Brightwell ont conjecturé en 1997 que la dimension d'un ordre n'ayant qu'un unique cycle dans son graphe de couverture est au plus 3. Dans cette présentation, nous discuterons de dimension d'ordres et aborderons l'idée derrière la preuve de ce résultat. Cette présentation s'appuie sur un travail en collaboration avec Adrien Segovia.

 

 

Pierre Catoire (IMAG, Montpellier)

Titre : L’ordinateur apprend l’algèbre des arbres de Schroeder

Résumé : Dans cet exposé à mi-chemin entre informatique et mathématiques, nous présenterons un problème calculatoire dans l’algèbre tridendriforme libre à un générateur Sch et donnerons un code le résolvant. Ce code inédit ayant vocation à être utilisé par la communauté mathématique, nous l’avons mis à disposition sous SageMaths bien que codé initialement en C++. Dans un premier temps, nous rappellerons la structure d’algèbre de Hopf de mélange des arbres Sch ainsi que le problème du calcul des éléments primitifs. Puis, nous introduirons l’interprétation des arbres de Schroeder avec des grilles et nous détaillerons la structure héritée d’algèbre de Hopf. Enfin, nous donnerons une liste de taille raisonnable des éléments primitifs donnés par notre code.

 

 

Clément Chenevière (LIGM, Université Gustave Eiffel)

Titre : Treillis de framing et coordonnées cubiques

Résumé : Les treillis de framing sont des familles d'ordres partiels définies très récemment par [von Bell--Ceballos, 2025] et [Berggren--Serhiyenko, 2024], en lien avec les polytopes de flots. On y retrouve comme cas particulier notables l'ordre faible sur le groupe symétrique, le treillis de Tamari, le treillis booléen et bien d'autres encore. Ces ordres partiels ont des propriétés remarquables sur les plans algébriques, géométriques et énumératifs.

Les treillis de framing sont définis à partir d'un graphe dirigé acyclique et d'un choix d'ordre local sur toutes les entrantes et toutes les sortantes de chaque sommet, fournissant une notion de croisement. Le treillis de framing associé est alors un ordre dont les éléments sont les collections maximales de routes qui ne se croisent pas. Après avoir esquissé cette première définition, je décrirai des résultats récents obtenus avec Jonah Berggren, et notamment un nouveau modèle combinatoire de routes à coins pour décrire les éléments du treillis. Nous en tirons des coordonnées entières explicites qui généralisent les bracket vectors pour le treillis de Tamari, et pour lesquelles la comparaison dans le treillis se retrouve comme une comparaison composante par composante.

 

 

Alice Cousaert (LIPN, Paris 13)

Titre : Building many equiprojective polytopes in higher dimensions

Résumé : A polytope is said to be k-equiprojective if almost every planar projections are k-gons, for k an integer. This property, first defined by Geoffrey Shephard in 1968, was only studied in dimension 3 until my recent ariticle. In this talk, I will present you a possible generalisation of equiprojectivity for d-dimensional polytopes, as well as how to build many combinatorial types of equiprojective polytopes.

 

 

Thomas Gobet (UCA, Clermont-Ferrand) 

Titre : Involutions et ordre absolu.

Résumé :  L'ordre absolu sur un groupe de Coxeter permet de réaliser le treillis des partitions non croisées à l'intérieur du groupe symétrique, en considérant l'intervalle entre l'identité et un élément de Coxeter. Cette approche permet de généraliser le treillis des partitions non croisées à d'autres types. Nous étudions la restriction de l'ordre absolu sur un groupe de Coxeter à un intervalle entre l'identité et une involution. Nous classifions les involutions pour lesquelles cet intervalle est un treillis. Dans ce cas, on peut naturellement associer à un tel intervalle un groupe, appelé groupe d'intervalle, qui possède des propriétés similaires au groupe de tresses d'Artin.

 

Christophe Hohlweg (UQAM, Montréal)

Titre : Ordre faible sur les groupes engendrés par involutions.

Résumé : Un système d’involutions, c’est-à-dire un groupe W engendré par un ensemble d’involutions S, est naturellement muni d’un ordre faible obtenu en orientant le graphe de Cayley de (W,S). Les systèmes de Coxeter constituent l’exemple le plus connu de tels systèmes, parmi lesquels ils se caractérisent par l’équivalence de quatre propriétés fondamentales (échange, cocycle, tresses, présentation par générateurs et relations). De plus, dans ce cas, Björner a montré que l’ordre faible est un demi-treillis complet pour l’opération d’infimum (meet). Ce fait a de nombreuses conséquences importantes pour les systèmes de Coxeter et leurs structures associées, que nous discuterons brièvement.

Dans ce mini-cours, nous aborderons principalement la question des systèmes d’involutions en général, et en particulier de ceux dont l’ordre faible est un demi-treillis complet pour l’infimum. Après avoir illustré cette propriété par de nombreux exemples, j’expliquerai comment la structure de treillis permet, dans le cas des graphes de Cayley bipartis, d’obtenir une présentation par générateurs et relations ainsi qu’une classification en rang 3. Nous discuterons enfin de plusieurs problèmes ouverts à saveur de combinatoire algébrique.

Ce mini-cours est basé en partie sur un travail récent avec F. Dos Santos et A. Trufanov.

 

 

Cédric Lecouvey (IDP, Tours) 

Titre : Entropie d'une permutation et ses généralisations.

Résumé : L'entropie d'une permutation est une mesure naturelle de sa distance à la permutation identité. Cette notion admet de nombreuses généralisations au carrefour de la combinatoire, de la théorie des représentations, de la théorie des nombres mais aussi de l'analyse. L'objectif de l'exposé sera d'en présenter quelques-unes et d'illustrer les relations qu'elles entretiennent avec les domaines précédents. Il s'agit de travaux en collaboration avec N. Chapelier, T. Gerber, N. Jacon pour les aspects algébriques; E. Lesigne et V. Perrollaz pour leur déclinaison plus  analytique.

 

 

Raquel Melgar (LaBRI, Bordeaux) 

Titre : Sur l’algèbre de Hopf combinatoire des graphes signés

Résumé : Le polynôme chromatique apparaît de manière canonique lorsqu’on étudie l’algèbre de Hopf combinatoire des graphes. Dans cette présentation, nous montrons comment étendre cela aux graphes signés. Un graphe signé est un graphe auquel on associe un signe à chaque arête. Il existe toute une théorie de coloration des graphes signés, et des analogues de la fonction chromatique, du polynôme chromatique et du polynôme de Whitney ont été définis et étudiés dans la littérature. Notre objectif est de définir une algèbre de Hopf combinatoire pour les graphes signés, faisant apparaître naturellement ces invariants, comme dans le cas de la coloration classique des graphes. Grâce à cette approche, nous pouvons obtenir facilement des résultats de réciprocité combinatoire pour ces invariants. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Jean-Christophe Aval.

 

Sophie Morier-Genoud (URCA, Reims)

Titre : q-analogie en théorie de Markov. 

Résumé : Avec Valentin Ovsienko nous avons introduit récemment des q-déformations des nombres rationnels et irrationnels qui étendent la notion usuelle de q-entiers. Notre approche est basée sur des propriétés combinatoires simples des nombres et des fractions continues. Les q-réels révèlent de nombreuses propriétés en lien avec des sujets variés: combinatoire des posets, invariants de noeuds et tresses, algèbre homologique, algèbres amassées… J’expliquerai la construction et les propriétés principales des q-réels et nous revisiterons la théorie d’approximation de Markov avec ces q-déformations.

 

 

Lucas Pouillart (IRIF, Paris Cité)

Titre : Fonctions de parking amassées et leur shellabilité

Résumé : Les fonctions de parking amassées forment un complexe simplicial introduit récemment par Josuat-Vergès et Douvropoulos comme poset fibré du complexe d'amas et des fonctions de parking au-dessus des partitions non-croisées, tous bien connus en combinatoire algébrique. Ces complexes encodent une part remarquable de la combinatoire du groupe de Coxeter sous-jacent, et présentent des liens très étroits avec de nombreux objets étudiés indépendamment. Nous présentons dans cet exposé de nouveaux résultats sur leur shellabilité.

 

 

June Roupin (IRIF, Paris Cité)

Titre : Forme normale alternante des tresses : combinatoire des mots, bon ordre, et généralisation aux monoïdes d'Artin-Tits sphériques

Résumé :  Les tresses sont des objets fondamentalement topologiques mais qui peuvent également être représentées comme des classes d'équivalence de mots, permettant leur étude d'un point de vue combinatoire. Un concept naturel dans ce contexte est la notion de forme normale : le choix d'un représentant unique pour chaque tresse.  La forme normale alternante, dont l'étude a initialement été motivée par ses liens avec l'ordre standard des tresses, associe à chaque tresse sur n fils une séquence unique de tresses sur n-1 fils, permettant ainsi de définir récursivement un unique représentant pour chaque tresse. Dans cet exposé, je vais présenter quelques propriétés combinatoires et algébriques de la forme normale alternante, décrire l'ordre qu'elle induit, puis expliquer comment ces résultats peuvent se généraliser aux monoïdes d'Artin-Tits sphériques. 

 

 

Manon Stipulanti (UL, Liège) 

Titre : Combinatoire des mots à la sauce lapin.

Résumé : La combinatoire des mots est une branche des mathématiques discrètes qui étudie les suites de symboles et leurs propriétés (répétitions, motifs, structure, etc.) d’un point de vue combinatoire. Elle trouve son origine au début du 20ème siècle avec le mathématicien norvégien Axel Thue, qui s’intéressait aux mots sans répétitions. Le domaine s’est ensuite développé avec la théorie des automates et des langages formels, ainsi qu’à travers ses liens avec la théorie des nombres et la dynamique symbolique. Aujourd’hui, outre son caractère fondamental, elle possède des applications pratiques notamment en informatique, en bioinformatique et en théorie de l'information. Dans cette présentation, je vous parlerai des interactions entre la combinatoire des mots et de la « célèbre » sauce lapin.

 

 

Izumi Watanabe (LISN, Paris-Saclay)

Titre : The min-symmetric monoid

Résumé : Diagram algebras, such as the Temperley-Lieb, Brauer, or partition algebra, have a rich theory in combinatorics and representations. They are generated by graphs of an even number of nodes arranged in two columns and connected by edges following specific rules; product is defined by horizontal concatenation. In 2024, Hivert and Scott proposed a new model where edges are labeled by integers and the product of two labels is given by their minimum. We adapt their construction to the case of the symmetric group and obtain a new monoid, the min-symmetric monoid. We describe its combinatorics, its semigroup structure and its representations. To do so, we introduce new combinatorial objects: Dyck multipartitions and Dyck standard multitableaux.